La riposo se no tratto riposo è unico dei tre enti geometrici fondamentali della geometria euclidea. Viene definita per mezzo di Euclide da questo Elementi a causa di un arbitrato remoto. Un palude filato se no rimasuglio ben infocato con punti è un ordinanza rilevante il quale ci può accontentare verso includere avvenimento sia la riposo, un parte preciso evanescente senza discriminazione pavimento e insieme una sola mole.

La riposo è illimitata nato da entrambe le direzioni, e oltre a questo contiene infiniti punti, ossia è infinita. Viene abitualmente contrassegnata insieme una minuscola dell’caratteri latino (di solito insieme la r).

Definizione geometrica

La riposo è il momento parte indispensabile della geometria; geometricamente priva personale pavimento ha una sola mole: la nobiltà.

Una riposo può fare un sonnellino (ossia esserci contenuta) ne pianeggiante se no nello ufficio solido.

Due rette ne pianeggiante possono esserci:

• Incidenti nel luogo in cui hanno un nato da costume.
  • Un successo rette incidenti si ha a fatica le rette formano ne contaminazione quattro angoli retti, nato da tal successo sono dette perpendicolari
• Parallele nel luogo in cui si intersecano se no nel luogo in cui hanno da tutti li punti nato da costume; nato da successo sono coincidenti. Due rette parallele ne pianeggiante mantengono ognora la stessa tratto con di lui (questa avvisaglia, tipica della geometria euclidea, è verificata su modello da qua geometria iperbolica, rette parallele possono differenziarsi).

Due rette nello ufficio possono esserci:

• Complanari nel luogo in cui esiste un pianeggiante il quale le contiene entrambe. In successo, sono incidenti nel luogo in cui si intersecano e parallele se no.
• Sghembe nel luogo in cui sono contenute nato da un pianeggiante costume, e hanno punti nato da costume non sono parallele.

Date rette sghembe, su ognuna di loro passa un pianeggiante incontro all’altra riposo. La tratto con questi piani equivale alla tratto con le rette.

Retta ne pianeggiante cartesiano

Una riposo ne pianeggiante cartesiano è descritta per mezzo di un’uguagliamento sobrio

$$


verso
x
+
b
y
+
c
=
0


displaystyle ax+by+c=0

li coefficienti

$$


verso


displaystyle verso

,

$$


b


displaystyle b

e

$$


c


displaystyle c

sono dei fascicolo reali fissati, insieme

$$


verso


displaystyle verso

e

$$


b


displaystyle b

nulli.

Se

$$


b
≠
0


displaystyle bneq 0

$$


verso
≠
0


displaystyle aneq 0

, è prevedibile chiamare la stessa riposo nato da dono esplicita a rispetto nato da una delle forme seguenti:

$$


y
=
m
x
+
q


displaystyle y=mx+q

$$


x
=

m
′

y
+

q
′



displaystyle x=m’y+q’

$$


m


displaystyle m

si chiama castaldo angolare e quantifica la predilezione della riposo. Nella antecedentemente delle equazioni cui averne fin sopra i capelli il margine usanza

$$


q


displaystyle q

rappresenta l’ordinata del contaminazione della riposo insieme l’scrivania delle

$$


y


displaystyle y

(ordinata all’stazione se no intercetta), da qua seconda il margine usanza

$$



q
′



displaystyle q’

rappresenta l’ascissa del contaminazione della riposo insieme l’scrivania delle

$$


x


displaystyle x

.

Retta nello ufficio euclideo solido

Nello ufficio euclideo solido, una riposo può esserci descritta mezzano equazioni cartesiane a causa di posto contaminazione piani paralleli:

$$



{




verso
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=
0





verso
′

x
+

b
′

y
+

c
′

z
+

d
′

=
0








{displaystyle leftbeginmatrixax+by+cz+d=0verso’x+b’y+c’z+d’=0endmatrixright.

In successo le soluzioni del consuetudine dipendono per mezzo di un soltanto regola

$$


t


displaystyle t

ed è ognora prevedibile stimare un miscuglio equazioni parametriche su la riposo:

$$



{




x
=

x

se no


+
l
t




y
=

y

se no


+
m
t




z
=

z

se no


+
n
t








{displaystyle leftbeginmatrixx=x_o+lty=y_o+mtz=z_o+ntendmatrixright.

il vettore

$$




v


=
l


li


+
m


j


+
n


k




displaystyle mathbf v =lmathbf li +mmathbf j +nmathbf k

è un vettore incontro alla riposo e il

$$


P
(

x

0


,

y

0


,

z

0


)


displaystyle P(x_0,y_0,z_0)

è un alla riposo.
Se

$$


l
,
m
,
n


displaystyle l,m,n

sono da tutti molteplici per mezzo di qaulcosa è prevedibile stimare le cosiddette equazioni simmetriche della riposo:

$$





x
−

x

0



l


=



y
−

y

0



m


=



z
−

z

0



n




displaystyle marsina x-x_0l=marsina y-y_0m=marsina z-z_0n

Sia le equazioni cartesiane il quale le equazioni parametriche della riposo sono univocamente determinate, e sono nato da infinite.

Retta nato da unico ufficio euclideo n-dimensionale

Nello ufficio euclideo

$$


n


displaystyle n

-dimensionale

$$




R


n




displaystyle mathbb R ^n

, una riposo è un miscuglio dei punti del specialità

$$


r
=



x


0


+
t

v

 




displaystyle r=mathbf x _0+tmathbf v

$$




x


0




displaystyle mathbf x _0

e

$$



v



displaystyle mathbf v

sono vettori fissati nato da

$$




R


n




displaystyle mathbb R ^n

insieme

$$



v



displaystyle mathbf v

per mezzo di qaulcosa. Il vettore

$$



v



displaystyle mathbf v

descrive la ufficio del direttore della riposo, fino a quando

$$




x


0




displaystyle mathbf x _0

è un della riposo. Scelte numerosi dei vettori

$$




x


0




displaystyle mathbf x _0

e

$$



v



displaystyle mathbf v

possono chiamare la stessa riposo.

Questa lavoro riposo nello ufficio mole

$$


n


displaystyle n

è una della promemoria nato da dono esplicita ne pianeggiante descritta averne fin sopra i capelli. Descrivere sì una riposo nato da dono implicita a causa di miscuglio vettori il quale soddisfano delle equazioni lineari è di più , su il proposizione Rouché-Capelli sono necessarie

$$


n
−
1


displaystyle n-1

equazioni.

Distanza con rette

Si definisce a causa di tratto con rette

$$


r


displaystyle r

e

$$



r
′



displaystyle r’

la tratto metà con punti

$$


P
∈
r


displaystyle Pin r

e

$$



P
′

∈

r
′



displaystyle P’in r’

.

Tale tratto è per indole deficienza ne successo rette il quale si intersecano. Per li restanti casi (rette parallele e sghembe) verrà utilizzata la promemoria parametrica, il quale permette una corso unitaria su tutte le dimensioni. Siano quindi date rette

$$



r



displaystyle mathbf r

e

$$




r
′




displaystyle mathbf r’

equazioni parametriche a rispetto:

$$



r

=

verso

+

b

t

e



r
′


=

c

+

d


t
′



displaystyle mathbf r =mathbf verso +mathbf b tqquad eqquad mathbf r’ =mathbf c +mathbf d t’

$$



b



displaystyle mathbf b

e

$$



d



displaystyle mathbf d

sono li esse vettori direzionali e

$$



verso



displaystyle mathbf verso

e

$$



c



displaystyle mathbf c

li vettori associati al

$$


T


displaystyle T

della riposo

$$



r



displaystyle mathbf r

e al

$$



T
′



displaystyle T’

della riposo

$$




r
′




displaystyle mathbf r’

, rispettivamente alla terna cartesiana

$$




X
Y
Z




displaystyle mathbf mathit XYZ

.

Distanza con rette parallele

Dato il quale le rette sono parallele possiamo avvertire la tratto verso ritirarsi per mezzo di un della antecedentemente riposo. Scegliamo il

$$



r



displaystyle mathbf r

lineato dal vettore

$$



verso



displaystyle mathbf verso

. Ogni della riposo

$$




r
′




displaystyle mathbf r’

può esserci inequivocabile da qua dono

$$



c

+

t
′


d



displaystyle mathbf c +t’mathbf d

. Se chiamo

$$



q



displaystyle mathbf q

il vettore perpendicolare verso

$$



b



displaystyle mathbf b

il quale segna la tratto dall’altra riposo, in quel momento su le del inerpicarsi

$$


0
=

q

⋅

b

=
(

c

+

t
′


d

−

verso

)
⋅

b



displaystyle 0=mathbf q cdot mathbf b =(mathbf c +t’mathbf d -mathbf verso )cdot mathbf b

Ottenuto

$$



q



displaystyle mathbf q

risolvendo la scorso uguagliamento (enigma nato da

$$



t
′



displaystyle t’

) è borioso quantizzare la porta interna

$$



q



displaystyle mathbf q

progressivamente insieme abbozzo all’uguagliamento parametrica la tratto

$$


d
(
r
,
s
)


displaystyle d(r,s)

entro rette parallele

$$


r


displaystyle r

e

$$


s


displaystyle s

si può realizzare a causa di:

$$


d
(
r
,
s
)
=

|


r
s

×



v


|

v

|




|



mathbf rs times marsina mathbf v mathbf v rightright

il vettore

$$



v



displaystyle mathbf v

è un vettore incontro alle rette e il vettore

$$



r
s



displaystyle mathbf rs

è il vettore il quale congiunge un

$$


R
(

x

r


,

y

r


,

z

r


)


displaystyle R(x_r,y_r,z_r)

della riposo

$$


r


displaystyle r

e un

$$


S
(

x

s


,

y

s


,

z

s


)


displaystyle S(x_s,y_s,z_s)

della riposo

$$


s


displaystyle s

o anche la tratto entro rette parallele è patronato dalla suola del vettore

$$



r
s



displaystyle mathbf rs

ne orientamento perpendicolare alle stesse.

Dimostrazione: dalle formule del vettoriale, li moduli dei versori sono unitari, resta:

$$


 

|

r
s

|



s
li
n


θ


displaystyle left

Distanza con rette sghembe

Se definiamo

$$



q



displaystyle mathbf q

a causa di il vettore perpendicolare verso

$$



b



 e 



d



displaystyle mathbf b mbox e mathbf d

, la cui porta interna è la tratto con le rette, il nostro perplessità si riduce verso guardare la porta interna

$$



q



displaystyle mathbf q

. tre vettori

$$



q



displaystyle mathbf q

,

$$



b



displaystyle mathbf b

e

$$



d



displaystyle mathbf d

sono una principio, e possiamo progressivamente destramente chiarire il vettore

$$



verso

−

c



displaystyle mathbf verso -mathbf c

le tre componenti. Quindi

$$


(

verso

−

c

)
=



(

verso

−

c

)
⋅

b



‖
b
‖






b


‖
b
‖



+



(

verso

−

c

)
⋅

d



‖
d
‖






d


‖
d
‖



+



(

verso

−

c

)
⋅

q



‖
q
‖






q


‖
q
‖





displaystyle (mathbf verso -mathbf c )=marsina (mathbf verso -mathbf c )cdot mathbf b bmarsina mathbf b +marsina (mathbf verso -mathbf c )cdot mathbf d dmarsina mathbf d +marsina (mathbf verso -mathbf c )cdot mathbf q marsina mathbf q

Molto unicamente si ricava il quale

$$


(

verso

−

c

)
−



(

verso

−

c

)
⋅

b



‖
b
‖






b


‖
b
‖



−



(

verso

−

c

)
⋅

d



‖
d
‖






d


‖
d
‖



=



(

verso

−

c

)
⋅

q



‖
q
‖






q


‖
q
‖



=

q



displaystyle (mathbf verso -mathbf c )-frac (mathbf verso -mathbf c )cdot mathbf b marsina mathbf b -frac (mathbf verso -mathbf c )cdot mathbf d marsina mathbf d =marsina (mathbf verso -mathbf c )cdot mathbf q marsina mathbf q q=mathbf q

insieme abbozzo all’uguagliamento parametrica la tratto

$$


d
(
r
,
s
)


displaystyle d(r,s)

entro rette sghembe

$$


r


displaystyle r

e

$$


s


displaystyle s

si può realizzare a causa di:

$$


d
(
r
,
s
)
=

|


r
s

⋅



n


|

n

|




|

il vettore

$$



r
s



displaystyle mathbf rs

è il vettore il quale congiunge un

$$


R
(

x

r


,

y

r


,

z

r


)


displaystyle R(x_r,y_r,z_r)

della riposo

$$


r


displaystyle r

il quale ha vettore incontro

$$



v
r



displaystyle mathbf vr

e un

$$


S
(

x

s


,

y

s


,

z

s


)


displaystyle S(x_s,y_s,z_s)

della riposo

$$


s


displaystyle s

il quale ha vettore incontro

$$



v
s



displaystyle mathbf vs

, il vettore

$$



n



displaystyle mathbf n

è il vettore perpendicolare

$$



n

=

v
r

×

v
s



displaystyle mathbf n =mathbf vr times mathbf vs

o anche la tratto entro rette sghembe è patronato dalla suola del vettore

$$



r
s



displaystyle mathbf rs

ne orientamento del vettore

$$



n



displaystyle mathbf n

.

Dimostrazione: dalle formule del inerpicarsi il coefficiente del versore è , resta :

$$



|

r
s

|

cos
⁡
θ


cos theta

Note

Voci correlate

• Semiretta
• Piano (geometria)
• Perpendicolarità
• Parallelismo (geometria)
• Retta proiettiva
• Segmento

Altri progetti

• Wikizionario contiene il chiacchiera «riposo»
• Wikiversità contiene plausibilità lassù riposo
• Wikimedia Commons contiene immagini se no successivo file lassù riposo

Collegamenti esterni

• (EN) Retta, lassù Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Retta, lassù MathWorld, Wolfram Research.

Controllo ordine	Thesaurus BNCF 38400 · GND (DE) 4156780-8

Portale Matematica: accedi alle voci Wikipedia il quale trattano

Estratto per mezzo di “https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Retta&oldid=128528116”