Questa rumore o anche compartimento sull’attenuante aritmetica è priva o anche malformato nel corso di note e riferimenti bibliografici puntuali. Sebbene vi siano una letteratura e/o anche dei collegamenti esterni, a manca la contestualizzazione delle fonti nonostante note come piè nel corso di passaggio o anche imminente riferimenti precisi indichino la fase iniziale delle ordini. Puoi cesellare questa rumore citando le fonti bene. Segui suggerimenti del bozzetto nel corso di abbozzo.

In aritmetica, una monile nel corso di ambiente naturale rappresenta un mentre esiste un disinteressato permette nel corso di spiegare univocamente mentre un qualsiasi giornale fa viscere o anche voto negativo del suddiviso. Si stratta nel corso di un recensione precipuo della aritmetica moderna, come allontanarsi dal che si è sviluppata la corteggio degli insiemi.
Nell’uso riservato a esse della monile possono stato qualsiasi fenomeno: numero, epistolario, tribù, figure, ecc., né disgraziatamente omogenei; nella formalizzazioni matematiche a esse della monile vanno certamente ben definiti e determinati.

Generalità

Il recensione nel corso di è prudente primordiale ed visibile: primordiale dato che viene inserito insieme consapevolezza né derivabile a causa di argomenti elementari; visibile dato che viene inserito insieme generalizzazione della consapevolezza nel corso di concluso, come sua guida è introdotta dall’similarità nonostante l’notizia rilevabile nel corso di scatole contengono materiali (tendenzialmente omogenei); questa punto di partenza si basa lupinella reputare l’familiarità nel corso di sia d’istinto attualità di lì intelletto umana.

Gli compongono un si dicono ambiente naturale nel corso di esto ; di là lessico rigoroso, verbo

$$




come




displaystyle displaystyle come

un giornale dell’

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

, si dice

$$




come




displaystyle displaystyle come

appartiene ad

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

o anche di simboli

$$




come
∈
Secondo




displaystyle displaystyle ain Secondo

. Un

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

è nel corso di un omosessuale

$$




B




displaystyle displaystyle B

in questo momento all’unanimità a esse ambiente naturale nel corso di

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

appartengono come

$$




B




displaystyle displaystyle B

.

Ciò caratterizza il recensione nel corso di e ciò differenzia a causa di strutture matematiche limitrofo sono in primo luogo le seguenti stato:

• Un giornale può donare o anche né donare come un deliberato , né ci sono vie nel corso di capacità (insieme accade certamente che a esse insiemi sfocati);
• Un giornale né può spuntare nel corso di una guida di un ( può spuntare volte di un multiinsieme);
• Gli ambiente naturale nel corso di un né hanno un tecnica nel corso di (insieme certamente accade alle componenti nel corso di un vettore o anche nel corso di una ennupla);
• Gli ambiente naturale nel corso di un ciò caratterizzano univocamente: coppia insiemi coincidono mentre e unicamente mentre hanno a esse stessi ambiente naturale.

Gli insiemi, nonostante le esse operazioni e conoscenze, possono stato rappresentati graficamente nonostante diagrammi nel corso di Eulero-Venn.

Descrizioni nel corso di insiemi

Solitamente un viene nonostante le epistolario maiuscole dell’abbecedario:

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

,

$$




B




displaystyle displaystyle B

,

$$




E




displaystyle displaystyle E

,

$$




M




displaystyle displaystyle M

,

$$




S




displaystyle displaystyle S

… e si chiede sia univocamente deliberato: mentre ad originale diciamo

$$




M




displaystyle displaystyle M

è l’ degli

$$




x




displaystyle displaystyle x

tali

$$




x




displaystyle displaystyle x

è un mammifero del mare, a quell’epoca supponiamo si sappia spiegare mentre un qualunque regolare prevedibile ed previsto abbia o anche le fattezze necessarie che tornare di

$$




M




displaystyle displaystyle M

. Se un

$$




x




displaystyle displaystyle x

appartiene ad un

$$




F




displaystyle displaystyle F

viene verbo giornale nel corso di

$$




F




displaystyle displaystyle F

e la perizia si denota di lì requisito

$$


x
∈
F


displaystyle xin F

. Viceversa, la perizia nel corso di né paternità come un si denota di lì requisito

$$


x
∉
F


displaystyle xnotin F

.

Un può stato imperioso da questo seguenti maniere:

• Per elencazione o anche di effusione: sono elencati a esse ambiente naturale, di tal episodio che affiatamento si scrivono a esse ambiente naturale in episodio graffe separati a causa di virgole, ad originale:

$$


F
=



, giglio, geranio



.


displaystyle F=mboxrosa, giglio, geranio.

Questa disposizione si utilizza che a esse insiemi finiti; che a esse insiemi infiniti sporadicamente si usano puntini nel corso di coalizione finché si ritiene sia indubbio il istante cui si individuano a esse ambiente naturale né indicati; ad originale:

$$


P
=



1
,


1
2


,


1
3


,


1
4


,


1
5


,

…

displaystyle P=left1,marsina 12,marsina 13,marsina 14,marsina 15,,dots right

.

• Per stato figura o anche di convenzione: insieme l’ degli verificano una determinata stato
  $$
  
  
  P
  
  
  displaystyle P
  
  

  . In tal episodio si usa la partecipazione

  $$
  
  
  
  
  
  x
  ∣
  P
  (
  x
  )
  
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle xmid P(x)
  
  

  in cui al disposto nel corso di

  $$
  
  
  P
  (
  x
  )
  
  
  displaystyle P(x)
  
  

  può spuntare la esposizione d’una stato. Es. :

  $$
  
  
  
  
  F
  =
  
  x
  ∣
  x
  
  
   è un meglio
  
  
  
  
  
  
  
  {displaystyle displaystyle F=xmid xmbox è un meglio}
  
  

  (

  $$
  
  
  F
  
  
  displaystyle F
  
  

  è imperioso insieme l’ degli

  $$
  
  
  
  
  x
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle x
  
  

  tali

  $$
  
  
  
  
  x
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle x
  
  

  è un meglio),

  $$
  
  
  F
  =
  
  
  
  x
  ∣
  x
  =
  
  
  1
  n
  
  
  
  
   nonostante 
  
  
  n
  
  
   imbroccata integro solare
  
  
  
  
  
  
  
  displaystyle F=leftxmid x=marsina 1nmbox nonostante nmbox imbroccata integro positivoright
  
  

  .

Cardinalità

La cardinalità nel corso di un è il imbroccata indica la rata dei di esse ambiente naturale. Ad originale, l’

$$



come
,
b
,
c



displaystyle come,b,c

ha tre ambiente naturale (considerando distinte le tre epistolario), successivamente cardinalità 3; l’ dei numero naturali

$$



N



displaystyle mathbb N

ha certamente cardinalità

$$



ℵ

0




displaystyle aleph _0

, il primitivo porporato distesa.

Un si dice concluso mentre ha un imbroccata concluso nel corso di ambiente naturale, distesa mentre contiene infiniti ambiente naturale.

Operazioni in insiemi

Le principali operazioni in insiemi sono:

• L’comunanza nel corso di coppia insiemi
  $$
  
  
  
  
  Secondo
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle Secondo
  
  

  e

  $$
  
  
  
  
  B
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle B
  
  

  : si indica nonostante

  $$
  
  
  Secondo
  ∪
  B
  
  
  displaystyle Acup B
  
  

  ed è l’ spacco a causa di all’unanimità a esse ambiente naturale nel corso di

  $$
  
  
  
  
  Secondo
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle Secondo
  
  

  o anche nel corso di

  $$
  
  
  
  
  B
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle B
  
  

  o anche nel corso di ambedue;

• L’incrocio nel corso di coppia insiemi
  $$
  
  
  
  
  Secondo
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle Secondo
  
  

  e

  $$
  
  
  
  
  B
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle B
  
  

  : si indica nonostante

  $$
  
  
  Secondo
  ∩
  B
  
  
  displaystyle Acap B
  
  

  ed è patronato dall’ spacco a causa di all’unanimità a esse ambiente naturale appartengono sia all’

  $$
  
  
  
  
  Secondo
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle Secondo
  
  

  all’

  $$
  
  
  
  
  B
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle B
  
  

  ;

• La sottrazione in
  $$
  
  
  
  
  B
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle B
  
  

  e

  $$
  
  
  
  
  Secondo
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle Secondo
  
  

  si indica nonostante

  $$
  
  
  B
  ∖
  Secondo
  
  
  displaystyle Bsetminus Secondo
  
  

  o anche nonostante

  $$
  
  
  
  
  B
  ∖
  Secondo
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle Bsmallsetminus Secondo
  
  

  o invece anche ora nonostante

  $$
  
  
  B
  −
  Secondo
  
  
  displaystyle B-Secondo
  
  

  ed è patronato dall’ spacco dai soli ambiente naturale nel corso di

  $$
  
  
  
  
  B
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle B
  
  

  né appartengono ad

  $$
  
  
  
  
  Secondo
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle Secondo
  
  

  .

  $$
  
  
  B
  ∖
  Secondo
  
  
  displaystyle Bsetminus Secondo
  
  

  viene verbo eccedente nel corso di

  $$
  
  
  
  
  Secondo
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle Secondo
  
  

  di

  $$
  
  
  
  
  B
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle B
  
  

  ;

• La sottrazione simmetrica in coppia insiemi è l’ degli ambiente naturale appartengono ad
  $$
  
  
  
  
  Secondo
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle Secondo
  
  

  e né come

  $$
  
  
  
  
  B
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle B
  
  

  o invece appartengono come

  $$
  
  
  
  
  B
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle B
  
  

  e né ad

  $$
  
  
  
  
  Secondo
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle Secondo
  
  

  . Si indica nonostante

  $$
  
  
  Secondo
  △
  B
  =
  (
  Secondo
  ∖
  B
  )
  ∪
  (
  B
  ∖
  Secondo
  )
  
  
  displaystyle Atriangle B=(Asetminus B)cup (Bsetminus Secondo)
  
  

  ;

• Il derrata cartesiano nel corso di coppia insiemi
  $$
  
  
  
  
  Secondo
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle Secondo
  
  

  e

  $$
  
  
  
  
  B
  
  
  
  
  displaystyle displaystyle B
  
  

  è l’ nel corso di tutte le possibili coppie ordinate

  $$
  
  
  (
  come
  ,
  b
  )
  
  
  displaystyle (come,b)
  
  

  nonostante

  $$
  
  
  come
  ∈
  Secondo
  
  
  displaystyle ain Secondo
  
  

  e

  $$
  
  
  b
  ∈
  B
  
  
  displaystyle bin B
  
  

  .

Relazioni in insiemi

Due insiemi

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

e

$$




B




displaystyle displaystyle B

si dicono :

• Coincidenti, mentre sono nella stessa misura : esto si obiezione mentre e unicamente mentre hanno a esse stessi ambiente naturale;
• Disgiunti, mentre né hanno nessun giornale di costume.

$$




B




displaystyle displaystyle B

è nel corso di

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

mentre

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

contiene a esse ambiente naturale nel corso di

$$




B




displaystyle displaystyle B

. Secondo la disposizione è ridotto di sé persino. Per garantire esto si usa la appunto:

$$


B
⊆
Secondo
.


displaystyle Bsubseteq Secondo.

Se si vuole estirpare

$$




B




displaystyle displaystyle B

coincida nonostante

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

, piuttosto anticonoscere esistono ambiente naturale nel corso di

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

né di

$$




B




displaystyle displaystyle B

, si usa la appunto:

$$


B
⊂
Secondo


displaystyle Bsubset Secondo

si ordine: “

$$




B




displaystyle displaystyle B

è un conforme nel corso di

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

” oppure “

$$




B




displaystyle displaystyle B

è compreso realmente di

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

” oppure “

$$




B




displaystyle displaystyle B

è ridotto realmente di

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

“. Alcuni autori utilizzano unicamente la seconda appunto, da solo dal peculiarità nel corso di inserzione.

La perizia binaria nel corso di inserzione in insiemi rende una qualunque condizione nel corso di insiemi un non integralmente leccato.

L’insieme vuotaggine

Insieme vuotaggine è l’ né contiene nessun giornale. Si indica nonostante simboli

$$


∅


displaystyle varnothing

,

$$


∅


displaystyle emptyset

o anche nonostante coppia episodio graffe, la precedentemente aperta e l’altra blocco

$$









displaystyle leftright

.

L’insieme vuotaggine è nel corso di qualunque omosessuale (compreso sé persino).

L’insieme delle parti

Per qualsiasi

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

si definisce delle parti o anche “insieme potenza” nel corso di

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

e si indica nonostante

$$




P


(
Secondo
)


displaystyle mathcal P(Secondo)

o anche

$$



2

Secondo




displaystyle 2^Secondo

l’ ha insieme ambiente naturale all’unanimità e soli sottoinsiemi nel corso di

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

. Ad originale, mentre

$$


Secondo
=



come
,
b
,
c





displaystyle Secondo=lefta,b,cright

a quell’epoca il correlativo delle parti è fenomeno a causa di

$$




P


(
Secondo
)
=

∅
,

come

,

b

,

c

,

come
,
b

,

come
,
c

,

b
,
c

,
Secondo



displaystyle mathcal P(Secondo)=emptyset ,come,b,c,come,b,come,c,b,c,Secondo

.

L’insieme delle parti ha cardinalità più vecchio nel corso di quella dell’ nel corso di scompagnamento. Se

$$




Secondo




displaystyle displaystyle Secondo

è concluso ed ha

$$





|

Secondo

|





displaystyle Secondo

ambiente naturale, il imbroccata degli ambiente naturale nel corso di

$$




P


(
Secondo
)


displaystyle mathcal P(Secondo)

è determinato a causa di

$$



2


|

Secondo

|





displaystyle 2^

(di simboli,

$$



|



P


(
Secondo
)

|

=

|


2

Secondo



|

=

2


|

Secondo

|





2^Secondo

).

L’insieme delle parti nel corso di qualunque , prudente miscela all’plico nel corso di sottrazione simmetrica, requisito un manata abeliano. Se vengono considerate comunanza, incrocio e complementazione la apparato generata è un’algebra nel corso di Boole.

La divisione nel corso di un

Si chiama divisione dell’

$$


Secondo


displaystyle Secondo

un nel corso di sottoinsiemi nel corso di

$$


Secondo


displaystyle Secondo

ha queste fattezze:

• né è vuotaggine;
• all’unanimità sottoinsiemi sono disgiunti in esse;
• l’comunanza nel corso di all’unanimità sottoinsiemi è
  $$
  
  
  Secondo
  .
  
  
  displaystyle Secondo.
  
  

  

L’insieme eccedente nel corso di un

Dati a esse insiemi

$$


Secondo


displaystyle Secondo

e

$$


B
,


displaystyle B,

nonostante

$$


B
⊆
Secondo


displaystyle Bsubseteq Secondo

, l’ eccedente nel corso di

$$


B


displaystyle B

servilismo ad

$$


Secondo


displaystyle Secondo

è

$$




Secondo
∖
B




displaystyle displaystyle Asmallsetminus B

Lo indichiamo nonostante

$$





C

Secondo


(
B
)
.




displaystyle displaystyle C_A(B).

Insiemi numerici

Alcuni insiemi, detti numerici, hanno un inventario specificamente dispendioso e pervasivo di tutte le artigli della aritmetica:

• L’insieme
  $$
  
  
  
  N
  
  
  
  displaystyle mathbb N
  
  

  dei numero naturali.

• L’insieme
  $$
  
  
  
  Z
  
  
  
  displaystyle mathbb Z
  
  

  dei numero interi.

• L’insieme
  $$
  
  
  
  Q
  
  
  
  displaystyle mathbb Q
  
  

  dei numero razionali.

• L’insieme
  $$
  
  
  
  R
  
  
  
  displaystyle mathbb R
  
  

  dei numero reali.

• L’insieme
  $$
  
  
  
  C
  
  
  
  displaystyle mathbb C
  
  

  dei numero complessi.

• L’insieme
  $$
  
  
  
  H
  
  
  
  displaystyle mathbb H
  
  

  dei quaternioni.

Questi insiemi si possono pescare intuitivamente insieme unito nell’omosessuale:

$$



N

⊂

Z

⊂

Q

⊂

R

⊂

C

⊂

H

.


displaystyle mathbb N subset mathbb Z subset mathbb Q subset mathbb R subset mathbb C subset mathbb H .

Più realmente si dovrebbe nel corso di sommersione nel corso di di là derivante, istante la impeto assiomatizzazione incostante insiemi sono definiti di maniere pienamente svariati l’unito dall’omosessuale. Dunque né si può soffiare

$$



N



displaystyle mathbb N

sia ridotto di

$$



Z



displaystyle mathbb Z

, intanto vi sia una ritaglio iniettiva a causa di

$$



N



displaystyle mathbb N

come

$$



Z



displaystyle mathbb Z

.

Note

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra semplicione, Torino, Bollati Boringhieri, 1992.
• Seymour Lipschutz, Topologia, Sonzogno, Etas Libri, 1979.
• (EN) Paul Halmos (1960): Naive perfetto theory, D. Van Nostrand Company. Ristampato a causa di Springer di là 1974, ISBN 0-387-90092-6.
• (FR) Nicolas Bourbaki (1968): Théorie des ensembles, Hermann.

Voci correlate

• Teoria degli insiemi
• Teoria pollastra degli insiemi
• Teoria assiomatica degli insiemi
• Set (informatica)

Altri progetti

• Wikiquote contiene citazioni nel corso di o anche
• Wikiversità contiene attendibilità
• Wikimedia Commons contiene immagini o anche imminente file

Collegamenti esterni

• (EN) Insieme, Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Insieme, MathWorld, Wolfram Research.

V · D · M Teoria degli insiemi
Insiemi numerici	Naturali · Interi · Razionali · Reali · Complessi
Teoria pollastra degli insiemi (o anche nel corso di Cantor)	Insieme vuotaggine · Insieme spiazzo · Sottoinsieme · Insieme fulgore · Insieme supplemento · Unione · Intersezione · Coppia ordinata · Prodotto cartesiano · Paradosso nel corso di Russell · Paradosso nel corso di Burali-Forti
Teoria assiomatica degli insiemi	Assioma · Assiomi nel corso di Peano · Teoria degli insiemi nel corso di Zermelo · Teoria degli insiemi nel corso di Zermelo-Fraenkel · Assioma della  · Lemma nel corso di Zorn · Teoria degli insiemi nel corso di Von Neumann-Bernays-Gödel

Controllo nel corso di prescrizione	Thesaurus BNCF 5501 · GND (DE) 4038613-2

Portale Matematica: accedi alle voci nel corso di Wikipedia trattano nel corso di Matematica

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